Moving average analyse of zeit serie daten




Moving average analyse of zeit serie datenSmoothing Daten entfernt zufallige Variation und zeigt Trends und zyklische Komponenten Inharent in der Sammlung von Daten im Laufe der Zeit ubernommen wird, ist eine Form der zufalligen Variation. Es gibt Methoden zur Verringerung der Aufhebung der Wirkung aufgrund zufalliger Variation. Eine haufig verwendete Technik in der Industrie ist Glattung. Diese Technik zeigt, wenn sie richtig angewendet wird, deutlicher den zugrunde liegenden Trend, saisonale und zyklische Komponenten. Es gibt zwei verschiedene Gruppen von Glattungsmethoden Mittelungsmethoden Exponentielle Glattungsmethoden Mittelwertbildung ist der einfachste Weg, um Daten zu glatten Wir werden zunachst einige Mittelungsmethoden untersuchen, z. B. den einfachen Mittelwert aller vergangenen Daten. Ein Manager eines Lagers mochte wissen, wie viel ein typischer Lieferant in 1000-Dollar-Einheiten liefert. Heshe nimmt eine Stichprobe von 12 Lieferanten zufallig an und erhalt die folgenden Ergebnisse: Der berechnete Mittelwert oder Mittelwert der Daten 10. Der Manager entscheidet, dies als Kostenvoranschlag fur die Ausgaben eines typischen Lieferanten zu verwenden. Ist dies eine gute oder schlechte Schatzung Mittel quadratischen Fehler ist ein Weg, um zu beurteilen, wie gut ein Modell ist Wir berechnen die mittlere quadratische Fehler. Der Fehler true Betrag verbraucht minus die geschatzte Menge. Der Fehler quadriert ist der Fehler oben, quadriert. Die SSE ist die Summe der quadratischen Fehler. Die MSE ist der Mittelwert der quadratischen Fehler. MSE Ergebnisse zum Beispiel Die Ergebnisse sind: Fehler und quadratische Fehler Die Schatzung 10 Die Frage stellt sich: Konnen wir das Mittel verwenden, um Einkommen zu prognostizieren, wenn wir einen Trend vermuten Ein Blick auf die Grafik unten zeigt deutlich, dass wir dies nicht tun sollten. Durchschnittliche Gewichtungen alle fruheren Beobachtungen gleich In Zusammenfassung, wir sagen, dass die einfache Mittelwert oder Mittelwert aller fruheren Beobachtungen ist nur eine nutzliche Schatzung fur die Prognose, wenn es keine Trends. Wenn es Trends, verwenden Sie verschiedene Schatzungen, die den Trend berucksichtigen. Der Durchschnitt wiegt alle fruheren Beobachtungen gleicherma?en. Zum Beispiel ist der Durchschnitt der Werte 3, 4, 5 4. Wir wissen naturlich, dass ein Durchschnitt berechnet wird, indem alle Werte addiert werden und die Summe durch die Anzahl der Werte dividiert wird. Ein anderer Weg, den Durchschnitt zu berechnen, besteht darin, da? jeder Wert durch die Anzahl von Werten geteilt wird, oder 33 43 53 1 1.3333 1.6667 4. Der Multiplikator 13 wird als Gewicht bezeichnet. Allgemein: bar frac sum links (frac rechts) x1 links (frac rechts) x2,. ,, Links (frac rechts) xn. Die (linke (frac rechts)) sind die Gewichte und summieren sich naturlich auf 1. Mittelwerte verschieben Gleitende Mittelwerte Mit herkommlichen Datenbestanden ist der Mittelwert oft die erste, und eine der nutzlichsten, zusammenfassenden Statistiken zu berechnen. Wenn die Daten in Form einer Zeitreihe vorliegen, ist das Serienmittel eine nutzliche Ma?nahme, spiegelt aber nicht die dynamische Natur der Daten wider. Meanwerte, die uber kurzgeschlossene Perioden berechnet werden, die entweder der aktuellen Periode vorangehen oder auf die aktuelle Periode zentriert sind, sind oft nutzlicher. Weil solche Mittelwerte sich andern oder sich bewegen, wenn sich die aktuelle Periode von der Zeit t & sub2 ;, t & sub3; usw. bewegt, werden sie als gleitende Durchschnittswerte (Mas) bezeichnet. Ein einfacher gleitender Durchschnitt ist (ublicherweise) der ungewichtete Durchschnitt von k vorherigen Werten. Ein exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt ist im Wesentlichen derselbe wie ein einfacher gleitender Durchschnitt, aber mit Beitragen zum Mittelwert, der durch ihre Nahe zur aktuellen Zeit gewichtet wird. Da es keine einzige, sondern eine ganze Reihe von gleitenden Mittelwerten fur eine beliebige Reihe gibt, kann der Satz von Mas selbst auf Graphen aufgetragen, als Serie analysiert und in der Modellierung und Prognose verwendet werden. Eine Reihe von Modellen kann mit gleitenden Durchschnitten konstruiert werden, und diese sind als MA-Modelle bekannt. Wenn solche Modelle mit autoregressiven (AR) Modellen kombiniert werden, sind die resultierenden zusammengesetzten Modelle als ARMA - oder ARIMA-Modelle bekannt (die I ist fur integriert). Einfache gleitende Mittelwerte Da eine Zeitreihe als ein Satz von Werten betrachtet werden kann, konnen t 1,2,3,4, n der Mittelwert dieser Werte berechnet werden. Wenn wir annehmen, da? n ziemlich gro? ist, so wahlen wir eine ganze Zahl k, die viel kleiner als n ist. Konnen wir einen Satz von Blockdurchschnitten oder einfache Bewegungsdurchschnitte (der Ordnung k) berechnen: Jede Messung reprasentiert den Durchschnitt der Datenwerte uber einem Intervall von k Beobachtungen. Man beachte, da? das erste mogliche MA der Ordnung kgt0 dasjenige fur tk ist. Allgemeiner konnen wir den zusatzlichen Index in die obigen Ausdrucke schreiben und schreiben: Dies bedeutet, da? der geschatzte Mittelwert zum Zeitpunkt t der einfache Mittelwert des beobachteten Wertes zum Zeitpunkt t und den vorhergehenden k -1 Zeitschritten ist. Wenn Gewichte angewandt werden, die den Beitrag von Beobachtungen verringern, die weiter weg in der Zeit sind, wird der gleitende Durchschnitt als exponentiell geglattet. Gleitende Mittelwerte werden haufig als eine Form der Prognose verwendet, wobei der Schatzwert fur eine Reihe zum Zeitpunkt t 1, S t1. Wird als MA fur den Zeitraum bis einschlie?lich der Zeit t genommen. z. B. Die heutige Schatzung basiert auf einem Durchschnitt der bisherigen aufgezeichneten Werte bis einschlie?lich gestern (fur tagliche Daten). Einfache gleitende Mittelwerte konnen als eine Form der Glattung gesehen werden. In dem nachfolgend dargestellten Beispiel wurde der in der Einleitung zu diesem Thema gezeigte Luftverschmutzungs-Datensatz um eine 7-tagige gleitende Linie (MA) erganzt, die hier in Rot dargestellt ist. Wie man sehen kann, glattet die MA-Linie die Spitzen und Taler in den Daten und kann sehr hilfreich sein, um Trends zu identifizieren. Die Standard-Vorwartsberechnungsformel bedeutet, dass die ersten k-1-Datenpunkte keinen MA-Wert haben, aber danach rechnen sich die Berechnungen auf den Enddatenpunkt in der Reihe. PM10 tagliche Mittelwerte, Greenwich Quelle: London Air Quality Network, londonair. org. uk Ein Grund fur die Berechnung einfacher gleitender Mittelwerte in der beschriebenen Weise ist, dass es Werte fur alle Zeitschlitze von der Zeit tk bis zur Gegenwart berechnet werden kann, und Wenn eine neue Messung fur die Zeit t 1 erhalten wird, kann die MA fur die Zeit t 1 zu dem bereits berechneten Satz addiert werden. Dies bietet eine einfache Vorgehensweise fur dynamische Datensatze. Allerdings gibt es einige Probleme mit diesem Ansatz. Es ist vernunftig zu argumentieren, dass sich der Mittelwert der letzten 3 Perioden zum Zeitpunkt t -1, nicht zur Zeit t, befinden sollte. Und fur eine MA uber eine gerade Anzahl von Perioden vielleicht sollte sie sich in der Mitte zwischen zwei Zeitintervallen befinden. Eine Losung fur dieses Problem besteht darin, zentrierte MA-Berechnungen zu verwenden, bei denen der MA zum Zeitpunkt t der Mittelwert einer symmetrischen Menge von Werten um t ist. Trotz seiner offensichtlichen Verdienste wird dieser Ansatz nicht allgemein verwendet, weil er erfordert, dass Daten fur zukunftige Ereignisse verfugbar sind, was moglicherweise nicht der Fall sein kann. In Fallen, in denen die Analyse vollstandig aus einer bestehenden Serie besteht, kann die Verwendung von zentriertem Mas bevorzugt sein. Einfache gleitende Mittelwerte konnen als eine Form von Glattung, Entfernen einiger Hochfrequenzkomponenten einer Zeitreihe und Hervorhebung (aber nicht Entfernen) von Trends in einer ahnlichen Weise wie der allgemeine Begriff der digitalen Filterung betrachtet werden. Tatsachlich sind die gleitenden Mittelwerte eine Form eines linearen Filters. Es ist moglich, eine gleitende Durchschnittsberechnung auf eine Reihe anzuwenden, die bereits geglattet worden ist, d. h. Glatten oder Filtern einer bereits geglatteten Reihe. Zum Beispiel konnen wir mit einem gleitenden Mittelwert der Ordnung 2 die Berechnungen unter Verwendung von Gewichten betrachten, so da? die MA bei x 2 0,5 x 1 0,5 x 2 gilt. Ebenso ist die MA bei x 3 0,5 x 2 0,5 x 3 Eine zweite Glattungs - oder Filterstufe anwenden, so haben wir 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 1 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3, dh die zweistufige Filterung Prozess (oder Faltung) einen variabel gewichteten symmetrischen gleitenden Durchschnitt mit Gewichten erzeugt hat. Mehrere Windungen konnen sehr komplexe gewichtete gleitende Durchschnitte erzeugen, von denen einige speziell in Spezialgebieten, wie etwa in Lebensversicherungsberechnungen, gefunden wurden. Bewegungsdurchschnitte konnen verwendet werden, um periodische Effekte zu entfernen, wenn sie mit der Lange der Periodizitat als bekannt berechnet werden. Zum Beispiel konnen mit monatlichen Daten saisonale Schwankungen oft entfernt werden (wenn dies das Ziel ist), indem Sie eine symmetrische 12-monatigen gleitenden Durchschnitt mit allen Monaten gleich gewichtet, mit Ausnahme der ersten und letzten, die mit 12 gewichtet werden 13 Monate im symmetrischen Modell (aktuelle Zeit, t - 6 Monate). Die Gesamtzahl wird durch 12 geteilt. Ahnliche Verfahren konnen fur jede wohldefinierte Periodizitat angenommen werden. Exponentiell gewichtete Bewegungsdurchschnitte (EWMA) Mit der einfachen gleitenden Durchschnittsformel werden alle Beobachtungen gleich gewichtet. Wenn wir diese Gleichgewichte, alpha t. Jedes der k Gewichte wurde 1 k betragen. So dass die Summe der Gewichte wurde 1, und die Formel ware: Wir haben bereits gesehen, dass mehrere Anwendungen dieses Prozesses in die Gewichte variieren fuhren. Bei exponentiell gewichteten Bewegungsdurchschnitten wird der Beitrag zum Mittelwert aus mehr zeitlich entfernten Beobachtungen verringert, wodurch neuere (lokale) Ereignisse hervorgehoben werden. Im wesentlichen wird ein Glattungsparameter 0lt alpha lt1 eingefuhrt und die Formel uberarbeitet: Eine symmetrische Version dieser Formel wurde die Form haben: Wenn die Gewichte im symmetrischen Modell als die Ausdrucke der Terme der Binomialdehnung ausgewahlt werden, (1212) 2q. Sie summieren sich auf 1, und wenn q gro? wird, nahert sich die Normalverteilung. Dies ist eine Form der Kerngewichtung, wobei das Binomial als Kernfunktion dient. Die im vorigen Teilabschnitt beschriebene zweistufige Faltung ist genau diese Anordnung, wobei q 1 die Gewichte ergibt. Bei der exponentiellen Glattung ist es notwendig, einen Satz von Gewichten zu verwenden, die auf 1 summieren und die geometrisch verkleinern. Die verwendeten Gewichte haben typischerweise die Form: Um zu zeigen, da? diese Gewichte zu 1 summieren, betrachten wir die Erweiterung von 1 als Reihe. Wir konnen den Ausdruck in Klammern schreiben und erweitern, indem wir die binomische Formel (1- x) p verwenden. Wobei x (1-) und p-1, was ergibt, ergibt sich daraus eine Form des gewichteten gleitenden Mittelwerts der Form: Diese Summation kann als eine Rekursionsrelation geschrieben werden, die die Berechnung erheblich vereinfacht und das Problem vermeidet, Sollte strikt unendlich sein, damit die Gewichte auf 1 summieren (fur kleine Werte von Alpha ist dies typischerweise nicht der Fall). Die von verschiedenen Autoren verwendete Schreibweise variiert. Einige verwenden den Buchstaben S, um anzuzeigen, da? die Formel im wesentlichen eine geglattete Variable ist, und schreiben: wahrend die kontrolltheoretische Literatur oft Z anstelle von S fur die exponentiell gewichteten oder geglatteten Werte verwendet (siehe z. B. Lucas und Saccucci, 1990, LUC1) , Und die NIST-Website fur weitere Details und bearbeitete Beispiele). Die Formeln, die oben zitiert wurden, stammen aus der Arbeit von Roberts (1959, ROB1), aber Hunter (1986, HUN1) verwendet einen Ausdruck der Form, die fur die Verwendung in einigen Kontrollverfahren geeigneter sein kann. Bei alpha 1 ist die mittlere Schatzung einfach ihr gemessener Wert (oder der Wert des vorherigen Datenelements). Bei 0,5 ist die Schatzung der einfache gleitende Durchschnitt der aktuellen und vorherigen Messungen. In Prognosemodellen wird der Wert S t. Wird oft als Schatzwert oder Prognosewert fur die nachste Zeitperiode, dh als Schatzung fur x zum Zeitpunkt t 1, verwendet. Somit haben wir: Dies zeigt, dass der Prognosewert zum Zeitpunkt t 1 eine Kombination des vorherigen exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts ist Plus eine Komponente, die den gewichteten Vorhersagefehler darstellt, epsilon. Zum Zeitpunkt t. Wenn eine Zeitreihe gegeben wird und eine Prognose erforderlich ist, ist ein Wert fur alpha erforderlich. Dies kann aus den vorhandenen Daten abgeschatzt werden, indem die Summe der quadrierten Pradiktionsfehler, die mit variierenden Werten von alpha fur jedes t 2,3 erhalten werden, ausgewertet wird. Wobei der erste Schatzwert der erste beobachtete Datenwert x ist. Bei Steueranwendungen ist der Wert von alpha wichtig, da er bei der Bestimmung der oberen und unteren Steuergrenzen verwendet wird und die erwartete durchschnittliche Lauflange (ARL) beeinflusst Bevor diese Kontrollgrenzen unterbrochen werden (unter der Annahme, dass die Zeitreihe eine Menge von zufalligen, identisch verteilten unabhangigen Variablen mit gemeinsamer Varianz darstellt). Unter diesen Umstanden ist die Varianz der Kontrollstatistik: (Lucas und Saccucci, 1990): Kontrollgrenzen werden gewohnlich als feste Vielfache dieser asymptotischen Varianz festgelegt, z. B. - 3-fache Standardabweichung. Wenn beispielsweise & alpha; 0,25 angenommen wird und die zu uberwachenden Daten eine Normalverteilung N (0,1) haben, werden bei der Steuerung die Steuergrenzen - 1,134 und der Prozess eine oder andere Grenze in 500 Schritten erreichen im Durchschnitt. Lucas und Saccucci (1990 LUC1) leiten die ARLs fur eine breite Palette von Alpha-Werten und unter verschiedenen Annahmen unter Verwendung von Markov-Chain-Prozeduren ab. Sie tabellieren die Ergebnisse, einschlie?lich der Bereitstellung von ARLs, wenn der Mittelwert des Kontrollprozesses um ein Vielfaches der Standardabweichung verschoben worden ist. Beispielsweise betragt bei einer 0,5-Verschiebung mit alpha 0,25 die ARL weniger als 50 Zeitschritte. Die oben beschriebenen Ansatze sind als einzelne exponentielle Glattung bekannt. Da die Prozeduren einmal auf die Zeitreihe angewendet werden und dann Analysen oder Steuerprozesse auf dem resultierenden geglatteten Datensatz durchgefuhrt werden. Wenn der Datensatz einen Trend enthalt unddie saisonalen Komponenten, konnen zwei - oder dreistufige exponentielle Glattungen angewendet werden, um diese Effekte zu entfernen (explizit modellieren) (siehe weiter unten im Abschnitt "Prognose" und im Beispiel von NIST). CHA1 Chatfield C (1975) Die Analyse der Zeitreihen: Theorie und Praxis. Chapman und Hall, London HUN1 Hunter J S (1986) Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt. J von Qualitatstechnologie, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Exponentiell gewichtete gleitende durchschnittliche Kontrollschemata: Eigenschaften und Verbesserungen. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Kontrolltests auf der Grundlage geometrischer Bewegungsdurchschnitte. Technometrics, 1, 239-2502.1 Gleitende Durchschnittsmodelle (MA-Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, konnen autoregressive Begriffe und gleitende Durchschnittsterme enthalten. In Woche 1 erlernten wir einen autoregressiven Term in einem Zeitreihenmodell fur die Variable x t ist ein verzogerter Wert von x t. Beispielsweise ist ein autoregressiver Term der Verzogerung 1 x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende Durchschnittsterme. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Es sei n (0, sigma2w) uberschritten, was bedeutet, da? die wt identisch unabhangig voneinander verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das durch MA (1) bezeichnete gleitende Durchschnittsmodell der 1. Ordnung ist (xt mu wt theta1w) Das durch MA (2) bezeichnete gleitende Durchschnittsmodell der zweiten Ordnung ist (xt mu wt theta1w theta2w) Das gleitende Mittelmodell der q-ten Ordnung , Mit MA (q) bezeichnet, ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbucher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen. Dies andert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschatzten Koeffizientenwerte und (nicht quadrierten) Ausdrucke in Formeln fur ACFs und Abweichungen umwandelt. Sie mussen Ihre Software uberprufen, um zu uberprufen, ob negative oder positive Vorzeichen verwendet worden sind, um das geschatzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Vorzeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF fur Verzogerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Proben-ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzogerung 1 ein Indikator fur ein mogliches MA (1) - Modell. Fur interessierte Studierende, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handout. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA (1) - Modell x t 10 w t .7 w t-1 ist. Wobei (wt overset N (0,1)). Somit ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF wird durch eine Plot dieser ACF folgt folgt. Die graphische Darstellung ist die theoretische ACF fur eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis liefert eine Probe gewohnlich ein solches klares Muster. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1) war. Fur diese Simulation folgt ein Zeitreihen-Diagramm der Probendaten. Wir konnen nicht viel von dieser Handlung erzahlen. Die Proben-ACF fur die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spitze bei Verzogerung 1, gefolgt von im Allgemeinen nicht signifikanten Werten fur Verzogerungen nach 1. Es ist zu beachten, dass das Beispiel-ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrunde liegenden MA (1) ubereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen fur Verzogerungen nach 1 0 sein werden Eine andere Probe hatte eine geringfugig unterschiedliche Probe ACF wie unten gezeigt, hatte aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) - Modell Fur das MA (2) - Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF sind fur die Lags 1 und 2. Autokorrelationen fur hohere Lags sind 0 , So zeigt ein Beispiel-ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Lags 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen fur hohere Lags ein mogliches MA (2) - Modell. Iid N (0,1). Die Koeffizienten betragen 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, wird der theoretische ACF nur bei den Verzogerungen 1 und 2 Werte ungleich Null aufweisen. Werte der beiden Nicht-Autokorrelationen sind A-Kurve des theoretischen ACF. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich Musterdaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Beispielwerte fur das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wobei wt iid N (0,1) ist. Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie bei dem Zeitreihenplot fur die MA (1) Beispieldaten konnen Sie nicht viel davon erzahlen. Die Proben-ACF fur die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch fur Situationen, in denen ein MA (2) - Modell nutzlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei Lags 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten fur andere Lags. Beachten Sie, dass aufgrund des Stichprobenfehlers das Muster ACF nicht genau dem theoretischen Muster entsprach. ACF fur allgemeine MA (q) - Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen besteht im Allgemeinen darin, dass Autokorrelationen ungleich Null fur die ersten q-Verzogerungen und Autokorrelationen 0 fur alle Verzogerungen gt q existieren. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) - Modell fur einen Wert von 1. Die reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert fur Als Beispiel, verwenden Sie 0.5 fur 1. Und dann 1 (0,5) 2 fur 1 verwenden. Youll erhalten (rho1) 0,4 in beiden Fallen. Um eine theoretische Einschrankung als Invertibilitat zu befriedigen. Wir beschranken MA (1) - Modelle auf Werte mit einem Absolutwert von weniger als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulassiger Parameterwert, wahrend 1 10,5 2 nicht. Invertibilitat von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch aquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch Konvergenz meinen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 sinken, wenn wir in der Zeit zuruckgehen. Invertibilitat ist eine Einschrankung, die in Zeitreihensoftware programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Begriffen abzuschatzen. Sein nicht etwas, das wir in der Datenanalyse uberprufen. Zusatzliche Informationen uber die Invertibilitatsbeschrankung fur MA (1) - Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Anmerkung. Fur ein MA (q) - Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung fur die Invertierbarkeit ist, da? die Koeffizienten solche Werte haben, da? die Gleichung 1- 1 y-. - q y q 0 hat Losungen fur y, die au?erhalb des Einheitskreises liegen. R-Code fur die Beispiele In Beispiel 1 wurde der theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1. Und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Abtastzeitreihen und die Abtast-ACF fur die simulierten Daten aufgetragen. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um den theoretischen ACF aufzuzeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzogerungen von ACF fur MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens lags, die im Bereich von 0 bis 10 liegt (H0) fugt dem Diagramm eine horizontale Achse hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Genannt acfma1 (unsere Wahl des Namens). Der Plotbefehl (der dritte Befehl) verlauft gegen die ACF-Werte fur die Verzogerungen 1 bis 10. Der ylab-Parameter bezeichnet die y-Achse und der Hauptparameter einen Titel auf dem Plot. Um die Zahlenwerte der ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Diagramme wurden mit den folgenden Befehlen durchgefuhrt. (N150, list (mac (0.7))) Simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 addiert 10 zum Mittelwert 10. Simulationsvorgaben bedeuten 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF fur simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurde der theoretische ACF des Modells xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Abtastzeitreihen und die Abtast-ACF fur die simulierten Daten aufgetragen. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 Plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, main ACF fur MA (2) mit theta1 0,5, (X, x) (x, x) (x, x, x, y) (1) Fur interessierte Studierende sind hier Beweise fur die theoretischen Eigenschaften des MA (1) - Modells. Variante: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1 der vorhergehende Ausdruck 1 w 2. Fur irgendeinen h 2 ist der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafur ist, dass, durch Definition der Unabhangigkeit der wt. E (w k w j) 0 fur beliebige k j. Da w w die Mittelwerte 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 haben. Fur eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um den oben angegebenen ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so da? die AR-Koeffizienten gegen 0 konvergieren, wenn wir unendlich zuruck in der Zeit bewegen. Gut zeigen Invertibilitat fur die MA (1) - Modell. Dann setzen wir die Beziehung (2) fur wt-1 in Gleichung (1) (3) ein (zt wt theta1 (z-therma1w) wt theta1z - theta2w) Zum Zeitpunkt t-2. Gleichung (2) wird dann in Gleichung (3) die Gleichung (4) fur wt-2 ersetzen (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Unendlich), erhalten wir das unendliche Ordnungsmodell (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzogerungen von z vervielfachen (unendlich) in der Gro?e zunehmen, Zeit. Um dies zu verhindern, benotigen wir 1 lt1. Dies ist die Bedingung fur ein invertierbares MA (1) - Modell. Unendlich Ordnung MA Modell In Woche 3, gut sehen, dass ein AR (1) Modell in ein unendliches order MA Modell umgewandelt werden kann: (xt - mu wt phi1w phi21w Punkte phik1 w Punkte sum phij1w) Diese Summation der Vergangenheit wei?er Rauschbegriffe ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zuruckgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Ruckruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Anforderung fur eine stationare AR (1) ist, dass 1 lt1. Berechnen Sie die Var (x t) mit der kausalen Darstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine Grundtatsache uber geometrische Reihen, die (phi1lt1) erforderlich sind, ansonsten divergiert die Reihe. Navigation